Ковтонюк М.М., Огірчук Г.М., вчитель математики Козятинської ЗШ №5

 

Постановка проблеми. На сучасному етапі суспільно-політичного й соціально-економічного розвитку України об’єктивною необхідністю є модернізація системи освіти, яка вимагає підвищення загальноекономічної грамотності громадян. В зв’язку з цим в школах введено курс початків економіки. Разом з тим, економічна освіченість та економічне мислення формуються не лише при вивченні курсу економіки, але й на основі таких навчальних дисциплін, як історія і суспільствознавство, географія тощо. Математика посідає особливе місце в системі загальної і спеціальної освіти економічного напряму. По-перше, вона є основним компонентом загальної освіти і розвитку особистості. По-друге - навчальною дисципліною, необхідною для подальшої економічної освіти і наступної професійної діяльності учнів. Великі можливості математики для економічної освіти учнів дають змогу говорити про особливе значення розробки навчально-методичного забезпечення математичної освіти як для класів економічного профілю, так і для середніх загальноосвітніх шкіл.

Задачі, що носять економіко-фінансовий характер, складали основний кістяк задачників протягом двохсот років (містились вони і в першому підручнику з арифметики Л.Магницького), оскільки вони є потужним засобом не лише мотивації навчання, а й розвитку раціонального, варіативного мислення учнів, їх економічного виховання. Крім практичної математичної цінності, так звані “бізнес-задачі” ознайомлюють учнів з основами фінансових розрахунків, а старовинні тексти задач з давніми мірами (аршин, фунт, стопа тощо), з назвами дробів (2,5 - “полтретья”, 8,5 - “полдевята” і т.д.) мають пізнавальну історичну цінність.

Аналіз останніх досліджень. Роботи, присвячені включенню в курс математики різних прикладних задач економічного змісту, охоплюють такі проблеми:

1.  Розробка математичного апарату для факультативних курсів і аудиторних занять в 10-11 класах з поглибленим вивченням економіки. Цей апарат є основою створення економічних застосувань математики і містить, зазвичай, елементи лінійної алгебри, матричне числення, елементи теорії графів, теорії ймовірностей, теорії ігор, логіки тощо). Лінійна алгебра сьогодні вважається другою фундаментальною дисципліною математики, яка застосовується в економіці. Цим питанням присвячені роботи В.Малихіна, Є.Федорова,

Н.А.Хоркіної і ін.

2.  Розробка матеріалів з економіки, які вчитель може використати на уроках математики для ілюстрації прикладами з економічної тематики окремих математичних понять, тверджень і властивостей. Цим питанням присвячені роботи О.Пінчука, О.Стрельченко, М.Вайнтрауба, І.Стрельченка,

О.Кузнєцової, В.І.Лисенко та Ю.І. Гіономаренка, РІ.К.Нателаурі.

3.  Аналіз економічного змісту вузівських курсів математичного аналізу, алгебри, теорії ймовірностей тощо. В цих дослідженнях встановлюється зв’язок “школа - ВНЗ” з ряду спільних задач, які розглядаються в 10-11 класах СЗШ і на молодших курсах ВНЗ. Мова йде, перш за все, про підвищення економічної культури учнів та студентів, і розгляд економічного змісту понять, пов’язаних з поняттями границі, похідної, інтегралу. Тут можна назвати вчених Бугіра М.К., Валєєва К.Г і Джалладової I.A., Красса М.Г., С.Г.Григор’єва, Шинкарика М.І. і ін.

4. Використання сучасних інформаційних технологій при розв’язуванні задач з економічним змістом. Дослідженням в цьому напрямку займались Нателаурі Н.К., Кийко П.В.

Мета статті:                проаналізувати проблему міжпредметних зв’язків

математики і економіки в процесі вивчення математики в школі, визначити можливості реалізації прикладної спрямованості шкільної математики через розв’язування задач з економічним змістом.

Виклад основного матеріалу. Аналіз змісту математичної та економічної освіти показує, що в навчальному процесі є передумови для реалізації міжпредметних зв’язків математики та економіки. Охарактеризуємо основні з них.

1. Більшість тем курсу економіки містять матеріал, який можна ефективно використати для наочної ілюстрації практичного використання досліджуваного математичного матеріалу (функції попиту та пропозиції, при вивченні поняття функції, означення ринкової рівноваги при вивченні систем рівнянь тощо), що буде сприяти більш глибокому та осмисленому вивченню абстрактної математичної теорії, а також підвищенню інтересу учнів до вивчення математики.

2.  Використання мови математики дозволяє точно й компактно викладати більшість положень економічної науки.

3.  Окремі факти та поняття, які вивчаються в курсі математики, є основою при визначенні ряду економічних понять (поняття лишків споживача та виробника вводяться на основі визначеного інтегралу, поняття еластичності визначається через похідну тощо).

4. При вивченні багатьох розділів курсу економіки відбувається закріплення математичних знань й вироблення вміння їх використовувати при розв’язуванні прикладних задач економічного змісту.

 

Таким чином, між курсами математики й економіки існують тісні міжпредметні зв’язки. Однією з умов їх успішної реалізації є навчання учнів до застосування математичного апарату до задач з економічним змістом. Однак, як слушно зауважує Бевз В., не слід забувати, що значною мірою програма навчального предмета визначається кількістю годин, відведених на його вивчення навчальним планом [6]. Нові навчальні плани передбачають подальше зменшення годин на вивчення математики. Якщо в 1975-1976 роках на вивчення математики відводилось 60,5 годин на тиждень в 1-10 класах, то в 2002-2003 роках цей показник становить лише 45,5 годин. А пояснити матеріалу потрібно набагато більше: тепер учні мають вивчати похідну, інтеграл, елементи стохастики, вектори, переміщення і багато інших тем, яких раніше не вивчали. Тому вивчення окремих розділів або тем, в яких особливо відчувається потреба в реалізації міжпредметних зв’язків, варто виносити на гурткову роботу, або на факультативні заняття.

Факультатив “Обчислювальний експеримент - метод розв’язування задач з економічним змістом” розрахований на учнів десятих - одинадцятих класів середньої загальноосвітньої школи. Він складається з таких тем: математичне моделювання; прості і складні відсотки (доходний і затратний методи оцінки нерухомості).

Оскільки процес розв’язування математичних задач з економічним змістом, в тому числі і задач економіки нерухомості, опирається на метод математичного моделювання, який є основою обчислювального експерименту, тому рекомендується почати заняття з теми “Математичне моделювання”.

Видатний математик 20 століття Л.Д.Кудрявцев вказує, що “ навчання умінню складати математичні моделі реальних явищ є однією з першочергових задач в процесі освіти спеціалістів відповідного профілю, а тому цій задачі має надаватися набагато більше часу й уваги, ніж це часто робиться”. На перших заняттях можна навести моделі, які часто використовуються в процесі вивчення в школі. Це глобус - модель планети Земля, з допомогою якої ми вперше отримуємо уявлення про нашу планету; моделі молекул і кристалічних решіток в хімії. Модель, наведена в роботі Н.К.Нателаурі [2]: в Англії була створена складна система труб і резервуарів, в якій потоки води імітували потоки грошей і товарів, а резервуари ототожнювались з таким економічними категоріями, як об’єм промислового виробництва, власне споживання і ін. Регулюючи потоки води, що визначають збір податків (тобто змінюючи ставку податків), вчені спостерігали, як при цьому зміниться рівень рідини в резервуарах “власне споживання” або “інвестиції'”. Отже, можна наближено демонструвати зв’язок різних економічних категорій.

Розгляд факультативного курсу з даного питання пов’язаний з тим, що учням вже знайоме поняття відсотка з 5 - 6 класів. Вони мають навички і вміння розв’язувати основні типи задач на відсотки: знаходження відсотків від числа, знаходження числа, знаючи певні відсотки від нього, знаходження кількості відсотків, які показують, якою частиною є одне число від іншого; а також з поняттями арифметичної та геометричної прогресії. Саме ці поняття є математичною основою розділу.

В зв’язку з цим, на початку курсу варто зацікавити учнів, а для цього можна запропонувати учням задачі, що не вимагають довгих обчислень, доступні для усного рахунку, які мають в основі історичні факти або задачі з оригінальним розв’язком. За допомогою таких задач також можна нагадати учням поняття відсотка. Наприклад:

1. Ціна долара в гривнях збільшилась на 25%. На скільки відсотків при цьому зменшилась ціна гривні в доларах ?

2. Практика отримання відсотків за видані в борг гроші існувала задовго до нашої ери. Наприклад, в Древній Греції збирали від 10 до 36% суми боргу в рік. У скільки разів збільшиться сума, віддана в кредит на 5 років?

Для подальшого викладу матеріалу необхідно акцентувати увагу учнів на економічні терміни, зокрема: оренда, орендна плата. Пояснити, що оренда нерухомого майна є нічим іншим, як орендою капіталу. Орендодавець здає в оренду не просто нерухомість. Він здає в оренду свій капітал, вкладений в це майно і направлений на отримання прибутку. Він здає в оренду частину ринку товарів (робіт, послуг), на якому використовується цей капітал для отримання прибутку.

 

В економіці існують різні способи нарахування відсотків, які залежать від умов контрактів, в зв’язку з цим необхідно познайомити учнів відповідно з різними видами відсоткових ставок. Прості відсотки (для нарахування відсотків застосовують постійну базу нарахування). Вважаємо необхідним запропонувати учням задачі з економічним змістом, математична модель яких буде показувати нарахування за простими відсотками, а умови задач є різними. Оскільки математичний апарат є нескладним для учнів 10-11 класів, то всю
увагу можна звернути на етапи математичного моделювання, на універсальність математичних моделей. Складний відсоток нараховується як на основну грошову суму, так і на раніше розраховані, але не виплачені відсотки. База для нарахування складних відсотків, на відміну від нарахування простих відсотків, буде зростати з кожним черговим періодом нарахування. Відмінність між простим та складним відсотковим ростом і використання накопичення за простими відсотками саме при короткотермінових операціях можна пояснити на такому прикладі.

Задача 1. Деякий інвестор придбав майно сьогодні за З), грн. і очікує приросту його вартості на р% в рік: а) за простими відсотками; б) за складними відсотками. Яка при цьому буде продажна ціна через п років ? Що вигідніше: вести нарахування за простими чи складними відсотками ? (Задачу розв’язати для умовних значень: 30 = 15000

гривень, n — 7 років, р% = 2% в рік).

 

Розв’язування.

Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз.                                                                                                  Створення математичної моделі

 

Приріст вартості за простими відсотками характерний тим,                                                                   a)                                                     модель для простих відсотків;

що суми відсотків протягом всього терміну визначаються

лише з початкової вартості, незалежно від терміну та кількості

періодів нарахування відсотків.

Складні ж відсотки - це спосіб приросту “відсотків на відсотки”,

операція приєднання нарахованих відсотків до основного вкладу                                                     б)                                                     модель для складних відсотків. 

називають капіталізацією відсотків. Термін володіння майном (років) - n;

початкова ціна майна (грн.) -     

щорічне збільшення вартості (%) -р.

Потрібно знати очікувану продажну ціну (грн.)                                                              

•                   (за простими відсотками),

   

•                    (за складними відсотками).

 

Дослідження математичної моделі. Для того, щоб співставити результати нарощування за різними відсотковими ставками, потрібно співставити відповідні множники нарощування. Можна переконатися, що при однакових рівнях відсоткових ставок співвідношення цих множників істотно залежать від періоду власності майном. На даному прикладі цікаво вивчити поведінку моделі на комп’ютері при різних вхідних даних. Цим можна звернути увагу учнів на питання з математики (наприклад, властивості показникової функції) і економіки (існування невигідного інвестування проектів, існування збитків).

Для відображення моделі на комп’ютер необхідно ввести вхідні параметри; скласти таблицю для обчислення приросту вартості за складними і простими відсотками.

Висновки. На основі аналізу психолого-педагогічної, науково- методичної літератури показано можливість підсилення прикладної спрямованості навчання математики в старших класах середньої школи через розв’язування задач, які розкривають питання економіки. Обчислювальний експеримент виділений як метод розв’язування математичних задач з економічним змістом, який дозволяє експериментувати з математичною моделлю, варіювати параметрами, “програвати” з допомогою моделі різні ситуації. Розроблені етапи розв’язування задачі з економічним змістом з використанням обчислювального експерименту.

Література.

1.  Нателаури Н.К. К вопросу о методике решения математических задач с экономическим содержанием в старшей школе.// Актуальные проблемы математики, інформатики, физики и математического образования (юбилейный сборник). - М.: МГПУ, 2004. - С.505-508.

2.  Пінчук О. Математика в економіці. Навч. посібник для учнів і вчителів // Математика. - 2005. -№25(325).- 56 с.

3.  Стрельченко О., Вайнтрауб М., Стрельченко І. Елементарні функції та прикладні задачі економічного напряму на уроках математики у школі // Математика в школах України. - 2005. - №6 - С.44-49.

4.  Ткач Ю. Дидактичні особливості навчання побудові математичних моделей економічних явищ і процесів //Математика в школах України. - 2005. - №27 - с. 39-42.

5.  Шоферовська Л., Швець В. Про введення в курс математики основної школи задач на цінні папери // Математика в школах України. - 2004. - №11. - С. 10-13.

Для обговорення та ваших запитань використовуйте форму  >>